Joseph Anton Kochwar ein Tiroler Häuslersohn, der sich seine frühesten künstlerischen Schritte selbst beibrachte. Eine erste Ausbildung erhielt er in Augsburg, wo er der Werkstatt des Bildhauers Ignaz Ingerl angehörte. Anlässlich seiner Firmung 1785 wurde er vom Fürstbischof von Augsburg, Clemens Wenzeslaus von Sachsen, mit einem Stipendium ausgestattet. Damit konnte er als Schüler die Hohe Carlsschule in Stuttgart besuchen, wo er eine umfassende künstlerische Ausbildung erhalten sollte. Jedoch sympathisierte Koch ab 1791 mit den Ideen der Französischen Revolution, so dass er wegen „politischer Verdächtigkeit“ verhaftet und von der Schulleitung mit der Relegation bedroht wurde. Er kam der Sanktion zuvor und verließ die Schule ohne Abschluss. Koch schloss sich einem Kreis von Jakobinern an, erst in Straßburg und 1792 in Biel in der Schweiz. Seine langen Wanderungen durch die Alpentäler fanden in seinen späteren Landschaftsbildern ihren Niederschlag. 1794 war es Koch mit einem Stipendium seines Mäzens George Nott möglich, nach Italien bis nach Neapel zu reisen. Er besuchte 1795 Salerno und Paestum und ließ sich schließlich in Rom nieder, wo er bei dem deutschen Klassizisten Asmus Jakob Carstens studierte, an dessen Figurenkompositionen er sich in seinen eigenen Bildern anlehnte. Im Umkreis von Carstens begegnete Koch u. a. auch dem dänischen Bildhauer Bertel Thorvaldsen, mit dem er sich befreundete.
 
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